فضای ژئودزی های پوچ

چرا برخی علاقه به بررسی فضای ژئودزی های پوچ یک فضا-زمان دارند؟ یک انگیزه برای بررسی این فضا، پروگرام تویستور می باشد که توسط راجر پنروز بنیان گذاری شده و بینش ها و دیدگاه هایی را در بسیاری از مفاهیم هندسه ی فضا-زمان فراهم کرده است. کار اخیر پنروز بیانگر این نکته می باشد که علاقه و رغبت زیادی برای به کارگیری هندسه و توپولوژی فضای ژئودزی های پوچ فضا-زمان وجود دارد. در فیزیک نیوتنی، فضا-زمان ساختار ساده و روشنی دارد. هر چند در دنیای نیوتنی جرم مطلق هیچ مفهومی ندارد، امّا می توان مفهومی برای زمان مطلق ارائه داد. بنابراین بحث راجع به اینکه آیا دو رویداد همزمانند و اگر نیستند کدام یک از آن ها اول رخ می دهد، بامعنی خواهد بود. همزمانی، یک رابطه ی هم ارزی است و این رابطه در یک روش متعارف می تواند فضا-زمان را افراز کند‎.‎ آیا موقعیت یک رویداد، ‎p‎، می تواند روی یک رویداد دیگر، ‎q‎، تأثیرگذار باشد؟ جواب این سوال وابسته به این است که کدام یک از این دو رویداد در زمان بعد اتفاق می افتد (مگر این که دو رویداد همزمان باشند که در این حالت مستقل از یکدیگر خواهند بود). هر چند مسأله ی همزمانی در دنیای نیوتنی مفهوم ساده ای دارد، ولی با داده های موجود هماهنگی ندارد و این یک اشکال بزرگ است‎.‎ از سوی دیگر، در نسبیت عام، ما فضا-زمان را به عنوان یک منیفلد مشتق پذیر و هموار، ‎ m‎، که با یک متر لورنسی هموار، ‎g‎، مجهز شده، مدل سازی می کنیم.کمیت های مرتبط با متر، به عنوان نمونه؛ التصاق، تانسور ریمانی و تانسور ریچی، تعابیر فیزیکی دارند و می~توانند برای توسعه~ی فیزیک در این زمینه به کار برده شوند‎.‎ به هر حال، این سوال که چه وقت اطلاعات یک رویداد می تواند رویداد دیگری را تحت تأثیر قرار دهد، در نسبیت عام نسبت به جهان نیوتنی از سادگی کمتری برخوردار است. در نسبیت عام، متر لورنسی به طور ضمنی به این سوال پاسخ می دهد. این متر مشخص می کند که آیا یک منحنی در فضا-زمان می تواند مسیر یک ذره ی مادی یا اثر آن را شرح دهد. به عبارت دیگر چه منحنیی در فضا-زمان می تواند مسیر یک ذره ی مادی یا اثر آن را شرح دهد؟ امّا، در حالت کلی، وضعیت در نسبیت عام نسبت به دنیای نیوتنی بسیار پیچیده تر است‎.‎ می توان فضا-زمان هایی را یافت که به طور موضعی کاملاً قابل قبول به نظر می~رسند ولی این ویژگی را دارند که یک ذره می تواند یک مسیر فضا-زمانی بسته داشته باشد. به عبارت دیگر این ذره می تواند به گونه ای سفر کند که گذشته اش را ملاقات کند. اولین و شاید مشهورترین کسی که موفق به کشف این نوع فضا-زمان ها شد گودل می باشد. چنین فضا-زمان هایی دچار اشکال فیلسوفانه اند و موضوع بسیاری از بحث ها و مذاکرات می باشند ‎؛ این فضا-زمان ها سوالات غیر استانداردی در مورد ماهیت اختیاری یا فشارها و محدودیت های غیر موضعی روی اطلاعات اولیه مطرح می کنند. حتی اگر ما به سادگی چنین رفتار های غیر~استانداردی را مستثنی کنیم و توجه مان را به فضا-زمان های با رفتارهای قابل قبول تر معطوف کنیم، وضعیت همچنان پیچیده باقی می ماند. در واقع، حتی اگر یک متر در مختصات موضعی دارای بیان ساده ای باشد، باز هم چک کردن این که فضا-زمان از نظر علّی قابل قبول است یا نه، کار سختی خواهد بود‎.‎ بررسی ها نشان می دهد دو فضا-زمان ساختار علّی یکسانی دارند اگر وفقط اگر ژئودزی های پوچ آنها یکی باشد‎. در اینجا ما بحث را با توصیف فضای پوچ یک فضا-زمان ‎ m‎ که با n نمایش داده می~شود، آغاز می کنیم و در ادامه پس ازبررسی بعضی ازساختار های ذاتی روی n‎، از قبیل توپولوژی n‎، به بحث خود خاتمه می دهیم.